Getriebeübersetzung
Ein zusätzliches Getriebe in die Antriebskette von der Falle zu den Rädern einzuberechnen ist nicht schwer.
Auf dem Bild ist der Unterschied dargestellt.
Links ohne, rechts mit einem Getriebe.
Neu im rechten Bild ist das Getriebe und eine Achse.
Das Getriebe ist mit gelben Kreisen gezeichnet, deren Durchmesserverhältnis die Übersetzung definieren. Ob das nun Zahnräder sind oder was anderes spielt bei der Rechnung keine Rolle.
Wenn der große Kreis einen Durchmesser von z.B. 30mm hat und der kleine 10mm, haben die ein Verhältnis von 3: 1 oder 1:3.
Damit hat ihr dann auch eine Übersetzung von i = 3:1 oder 1:3.
Bei Zahnrädern bestimmt die Zähnezahl der Zahnräder das Übersetzungsverhältnis. Das ist einfacher als ihren Durchmesser zu verwenden. Wenn ihr da zwei Zahnräder habt, eines mit 30 Zähnen und eines mit 10, dann habt ihr ein Getriebe mit Übersetzung i = 3:1 oder 1:3 je nachdem wie ihr es verwenden wollt.
Für die Berechnungen benötigen wir nur dieses Übersetzungsverhältnis. Die absolute Zähnezahl oder Durchmesser sind nicht relevant.
Da wir die Getriebe so einbauen wollen, dass der Weg länger wird, nehmen wir die Übersetzung mit der großen Zahl im Zähler des Bruches also z.B. i = 3:1 = 3. Mehr Infos auf der Seite Getriebe.
Die Übersetzung bauen wir nun in unsere Berechnungen des Auto mit ein:
Berechnungen
Ich zeige euch mal zwei leicht unterschiedliche Möglichkeiten das Getriebe in eure Berechnungen zu integrieren.
1. wir rechnen das Getriebe erst ganz zum Schluss mit ein
Die einfachste Möglichkeit ist die Berechnungen erstmal ohne Getriebe durchzuführen und erst ganz am Ende die Übersetzung mit einrechnen. Das hat den Vorteil, dass man das Auto ohne Getriebe kennt. Man weiß dann genau, wie weit es ohne Getriebe fahren wird und mit welcher Kraft.
Anschließend kann eine Übersetzung gewählt werden, damit das Auto eine bestimmte, gewünschte Reichweite schafft.
Die Berechnungen sind dann ganz einfach so:
Reichweite mit Getriebe = Reichweite ohne Getriebe mal Übersetzung
Anzahl der Umdrehung der Radachse mit Getriebe = Anzahl Radachse ohne Getriebe mal Übersetzung
Antriebskraft mit Getriebe = Antriebskraft ohne Getriebe geteilt durch Übersetzung
Beispiel:
Wir haben wieder das Auto aus unseren Berechnungsbeispielen Reichweite und Vortriebskraft.
Ich erweitere die Kürzel für Weg S, Umdrehung N und Kraft F mal mit o als Kennzeichnung ohne Getriebe.
Dementsprechend sind die Größen mit Getriebe dann Sg, Ng und Fg.
Ohne Getriebe würde es 8m weit fahren (So) , es hätte 21 Radumdrehungen (No) und seine Antriebskraft (Fo) wäre 60cN.
Mit 3:1 Getriebe ( i = 3) :
Reichweite
Sg = So * i
= 8m * 3
= 24m
Radumdrehungen
Ng = No * i
= 21 * 3
= 63
Antriebskraft
Fg = Fg / i
= 6cN / 3
= 2cN
2. Antriebsstrang so rechnen, wie er wirklich aufgebaut ist
Wir trennen den Pfad, den wir ohne Getriebe kennen an der Stelle auf, an der wir in unserer Konstruktion das Getriebe eingesetzt haben.
Ohne Getriebe hat die Antriebskette so ausgesehen:
Federbügel - Stab/Kurvenscheibe - Faden - Achse - Rad
Normalerweise wird das Getriebe zwischen der Achse und dem Rad eingefügt werden. Weil wir für das Rad wieder eine Achse brauchen, fügen wir die auch wieder mit ein. In den meisten Fällen wird die neue Antriebskette dann so aussehen:
Federbügel - Stab - Faden - Achse - Getriebe - Achse - Rad
In der Realität wird das Getriebe aus Zahnrädern oder sonstigen mechanischen Elementen bestehen. Wir wollen es aber hier relativ einfach halten. Ich möchte mich nicht von Zahnrad zu Zahnrad hangeln, sondern direkt mit der Übersetzung rechnen, die unser Getriebe haben soll. Genau so ist es nämlich dann immer noch recht einfach, das Getriebe mit einzuberechnen.
Wir nehmen an der Stelle der Berechnungen einfach die Übersetzung als Faktor mit in die Rechnung, wie in der ersten Berechnungsversion ganz oben, wo wir das erst ganz zum Schluss gemacht haben.
Wenn wir an der Stelle der ersten Achse, an der der Faden anzieht, angekommen sind, rechnen wir jetzt nicht direkt zum Rad, sondern zu der neuen Achse, die wir mit dem Getriebe mit eingefügt haben.
Die beiden Achsen haben eine Beziehung zueinander, die von dem Getriebe definiert wird.
Es ist egal, wie groß die Zahnräder sind, oder die Fadenspulen, oder was auch immer ihr an Getriebe gewählt habt, es zählt immer nur das Übersetzungsverhältnis des Getriebes.
An der Stelle, an der wir das Getriebe eingesetzt haben, haben wir grad das Drehmoment bzw. eine Anzahl der Umdrehungen für die erste Achse ermittelt. (siehe Reichweite und Vortriebskraft) Nennen wir die nun mal N1 und Ma1.
Anzahl Umdrehungen aus dem abgewickelten Faden und dem Achsdurchmesser:
N1 = LF / UA
= LF / (DA*pi)
Das Drehmoment Ma aus der Kraft im Faden und dem Achsradius:
Ma1 = Ra * Ff
Da wir mit dem Getriebe ja die Reichweite erhöhen und die Antriebskraft senken wollen, können wir die Anzahl der Umdrehungen und ihr Drehmoment von der zweiten Achse leicht berechnen:
Anzahl der Umdrehungen der zweiten Achse nimmt zu:
N2 = N1 * i
Drehmoment der zweiten Achse nimmt ab:
Ma2 = Ma1 / i
Ab hier rechnen wir wieder genau so weiter, wie wir die Reichweite oder die Vortriebskraft ohne Getriebe auch berechnet haben.
Übrigens:
Der Nachteil dieser Berechnung, dass wir nicht wissen, wie das Auto ohne Getriebe fahren würde, lässt sich ganz leicht dadurch kompensieren, dass wir einfach eine 1:1 Übersetzung einrechnen. Die ändert logischerweise nichts (nur in der Rechnung ohne Reibung!).
Wir können also auch bei der Methode ganz leicht ausrechnen, wie sich das Auto verhalten wird, wenn kein Getriebe vorhanden wäre.
Beispiel für die Reichweitenrechnung (Vergleich ohne Getriebe siehe Reichweite):
Es ist wieder unser Beispielauto: ein Stab-Auto mit CDs als Rädern diesmal mit 3:1 Getriebe.
Stab 20cm lang, der einen Faden von einer 6mm dicken Achse abwickelt.
Berechnen wir wieder zuerst, wie viel Faden von der Achse abgewickelt wird:
LF = 2* 20cm = 40cm
Es wird 40cm Faden von der Achse abgewickelt
Nun die Anzahl der Umdrehungen, die die Achse machen wird:
N1 = LF / U
= LF / (DA*pi)
= 40cm / (6mm*3,14)
= 40cm / 18,85mm
= 400mm / 18,85mm
= 21,22
Die Achse wird sich 21 mal drehen
Neu: Getriebe 3:1 Anzahl Umdrehungen Achse2:
N2 = N1 * i
= 21,22 * 3
= 63,66
Zum Schluss die gesuchte Reichweite:
S = N2 * UR
= N2 * DR * pi
= 63,66 * 120mm * pi
= 24000mm
= 24m
Das Auto wird 24m weit angetrieben.
Das 3:1 Getriebe hat die Reichweite einfach um Faktor drei erhöht.
Und hier noch das Beispiel zur Vortriebskraft (Vergleichsrechnung ohne Getriebe siehe Vortriebskraft)
Fadenkraft:
Lm* Fm = Ls *Fs
Fs = Lm/Ls * Fm
= 40mm/ 200mm * 600cN
= 120cN
Drehmoment Achse 1:
Ma1 = Ra * Ff
= 3mm * 120cN
= 360cNmm
Neu: Getriebe 3:1 - Drehmoment Achse2:
Ma2 = Ma1 / i
= 360cNmm / 3
= 120cNmm
Vortriebskraft:
Fr = Ma2 / Rr
= 120cNmm / (120mm/2)
= 120cNmm / 60mm
= 2cN
Die Vortriebskraft wurde durch das 3:1 Getriebe auf 2cN verringert.