Konuswinkel und Effekt 2

Für den Effekt 2 muss man schon mehr Aufwand reinstecken. Um herauszufinden, wie unterschiedlich hoch die Schwerpunkte laufen können, muss man zunächst berechnen, wie viel sie überhaupt angehoben werden. Das wird vom Konuswinkel definiert.

Um den berechnen zu können, muss man sich jedoch vorher die Verteilungen der Kräfte am Rotorblatt ansehen:

Kräfteverteilung am Rotorblatt

Am Rotorblatt gibt es zwei große Hauptkräfte: die Fliehkraft und die Auftriebskraft. Beide werden unter anderem von der Rotation und damit von der Drehzahl des Rotors erzeugt, haben jedoch unterschiedliche Richtungen.

Annahme1: Neutralpitch, Rotor dreht sich

Lassen wir mal die Gewichtskraft der Rotorblätter unbetrachtet. 

Die Blätter werden durch die Fliehkraft nach außen gezogen. (Ich drücke das hier absichtlich so aus. Wie unter einfach(e) nötige Physik erklärt gibt es die Fliehkraft eigentlich nicht. Es ist so aber einfacher zu verstehen)

Scheint also ganz einfach zu sein. Wir haben gelernt, dass die Fliehkraft durch die Masse, der Lage, bzw. den Radius des Schwerpunktes und der Drehzahl berechnet wird.

Annahme 2: Nun geben wir Pitch.

Dadurch entsteht eine neue Kraft am Blatt, die Auftriebskraft. Die wirkt nun senkrecht zum Blatt.

Sie ist es ja, die unseren Heli heben soll. Wir wissen also genau, wie groß die Kraft im Schwebeflug sein muss.

Sie muss genau so groß sein wie die Gewichtskraft des Helis (aufgeteilt auf die Anzahl der Rotorblätter)

Für die weiteren Betrachtungen sind noch ein paar Annahmen zu treffen:

- das Rotorblatt ist in einem Schlaggelenk gelagert und kann frei nach oben kippen

- das Blatt ist ideal starr und kann sich nicht in sich verbiegen

Dann wird die senkrecht zum Blatt wirkende Auftriebskraft versuchen das Blatt hochzuheben.

Die Fliehkraft wirkt dabei weiter radial nach außen. Da sie ja aber, wie allgemein bekannt, im Schwerpunkt angreift (ich zeige später, dass das nicht stimmen kann), wird der Angriffspunkt über den Lagerpunkt des Blattes angehoben.

Dadurch entsteht aus der Fliehkraft Komponenten, die ebenfalls senkrecht zum Blatt wirken. Allerdings sind diese Kraftkomponenten jetzt der Auftriebskraft entgegen gerichtet.

Durch das Anheben des Blattes wird aber auch die Kraftrichtung der Auftriebskraft geändert. Die Änderung ist zwar nur ganz klein, ich habe sie der Richtigkeit halber aber mit beachtet. Auch diese Kraft muss nun also in andere Komponenten zerlegt werden. Um es einfach auszudrücken: wenn das Blatt nicht mehr horizontal sondern in einem Winkel angestellt ist, muss die Auftriebskraft etwas größer werden, so dass die senkrecht zum Boden wirkende Kraftrichtung wieder so groß ist, dass der Heli abheben kann.

Wie Kräfte in Komponenten zerlegt werden, habe ich in Physik nochmal versucht zu erklären

Je größer der Winkel wird umso größer wird die Komponente der Fliehkraft, die der Auftriebskraft entgegenwirkt. Es stellt sich also bei einem bestimmten Winkel ein Gleichgewicht ein. Diesen Winkel möchte ich abschätzen. Das ist der Konuswinkel.

Wird das Blatt durch andere Enflüsse weiter angehoben, überwiegt die Fliehkraft und das Blatt muss sich wieder senken. Es ist also ein stabiles Gleichgewicht. Der Winkel wird dabei von vielen Faktoren beeinflusst. Alle Punkte, die die Auftriebskraft und die Fiehkraft bestimmen , nehmen Einfluss auf den Winkel. (Drehzahl, Blattgewicht, usw. )

Jetzt ist es doch eigentlich ganz einfach den Winkel zu bestimmen, oder?

Das wäre es, wären die Kraftangriffspunkte von Fliehkraft und Auftriebskraft gleich. Dann müssten wir nicht den Umweg über die Berechnung von Drehmomenten machen. Schauen wir uns also mal an, wo die Kräfte am Blatt wirken.

Wo die Fliehkraft ansetzt wissen wir: am Schwerpunkt (nehmen wir mal an das tut sie wirklich)

Wo greift aber die Auftriebskraft an?

Nehmen wir mal an, sie würde auch im Schwerpunkt angreifen. Dann sähe die Rechnung so aus:

Fa_n  = Fz_n

Fa_s / cos(ɑ) = Fz * sin(ɑ) 

Fa_s = Fz * sin(ɑ) * cos(ɑ)

Fa_s / Fz = sin(ɑ) * cos(ɑ)

mit sin(ɑ) * cos(ɑ) = 0,5 * sin(2 * ɑ)  gilt:

Fa_s / Fz = 0,5 * sin(2* ɑ)

2 *  Fa_s / Fz = sin(2* ɑ)

arcsin(2 *  Fa_s / Fz ) = 2* ɑ

arcsin(2 *  Fa_s / Fz ) / 2 = ɑ

setzt man für Fz und Fa_s die Werte ein, schaut das Ganze so aus:

ɑ = arcsin(2 * 2000g / 124646g) /2

ɑ = 0,92°

Und hier das Bild dazu:

Falsch. In der Realität greift die Auftriebskraft nicht im Schwerpunkt an. Dadurch, dass das Blatt außen schneller durch die Luft fliegt als weiter innen, ist die Auftriebskraft außen auch größer als innen. Es wird also mehr Kraft am Blattende erzeugt. Dadurch kann sie nicht im Schwerpunkt angreifen.

Hier gibt es auch eigentlich keine Diskussion: jedem ist klar, dass die Auftriebskraft weiter außen angreifen muss.

Aber wo nun genau? Um den Winkel genau berechnen zu können, muss man doch genau wissen wo sie angreift.

Dazu müssen wir uns die Auftriebskräfte, die am Blatt entstehen, genauer anschauen. Wie sind die genau über das Blatt verteilt?

Dazu habe ich Berechnungen durchgeführt.

Weil wir grad so beim Rechnen sind, ein wichtiger Hinweis noch an dieser Stelle: alle Berechnungen gelten wieder nur für einen bestimmten Heli mit einer bestimmten Auslegung. Heligewicht, Drehzahl, Blattgewicht, usw. würden die Berechnung jedesmal anders aussehen lassen.

Ich nehme dafür die Werte, die wir für die Berechnung Effekt 1 bereits verwendet hatten (nur sind die Blätter diesmal erstmal perfekt gleich):

Fluggewicht 4 kg

Blattgewicht 120 g

Blattlänge 600 mm

davon Blattwurzel 50 mm

Drehzahl 1600 U/min

Kopf-Durchmesser 150 mm

Ich habe ein Rotorblatt in viele kleine Abschnitte (100.000) geteilt und für jeden Abschnitt seinen Anteil an der Auftriebskraft berechnet.

Je mehr Abschnitte dafür berechnet werden umso genauer nähert sich das Ergebnis der Realität an.

Die Summe aller Auftriebskräfte (bzw. die Komponente senkrecht zum Boden) muss genau so groß sein, wie das Gewicht des Helis (aufgeteilt auf die Anzahl der Blätter)

Das Resultat ist eine Parabel. D.h. die Kraft nimmt mit zunehmendem Abstand von der Rotorwelle quadratisch zu.

Um wirklich ganz genau zu sein: es ist eine abgeschnittene Parabel, weil direkt am Kopf und der Blattwurzel kein Auftrieb erzeugt wird (dort gibt es kein Profil). Die Resultierende einer abgeschnittenen Parabel konnte ich aber nur näherungsweise ermitteln. Hier muss ich mich mathematisch wieder mehr damit beschäftigen.

Es handelt sich hier um eine so genannte Flächenlast. Das wird im Abschnitt Physik nochmal erklärt.

Die Resultierende einer Parabellast greift bei ¾ der Länge an über die die Parabel verteilt ist.

Diese resultierende Kraft können wir jetzt doch in die Berechnung einsetzen, oder?

Antwort: Nein.

Wir müssen doch den Umweg über die Berechnung der Drehmomente nehmen, weil der Ort, an dem die beiden Kräfte angreifen, unterschiedlich ist.

Also berechnen wir die Drehmomente und daraus dann den Winkel.

Es gilt, dass das Drehmoment, dass die Auftriebskraft erzeugt gleich groß dem sein muss, das die Fliehkraft erzeugt.

M_L = M_R

Fa_n * L_Fa_n = Fz_n * L_Fz_n

Fa_s/cos(ɑ) * L_Fa_N = Fz*sin(ɑ) * L_Fz_n

Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)  = sin(ɑ) * cos(ɑ)

mit sin(ɑ) * cos(ɑ) = 0,5 * sin(2 * ɑ)  gilt:

Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)  = 0,5 * sin(2* ɑ)

2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n))  = sin(2* ɑ)

arcsin(2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)))  = 2* ɑ

arcsin(2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n))) / 2 = ɑ

setzt man für Fz, L_Fa_n, L_Fz_n und Fa_s die Werte ein, schaut das Ganze so aus:

ɑ = arcsin(2 * 2000g * 462,5mm / (124646g * 300mm)) /2

ɑ = 1,4°

Leider ist diese Rechnung immer noch nicht ganz richtig.

Es ist nämlich so, dass die Fliehkraft genau so wie die Auftriebskraft außen stärker als innen am Blatt ist.

Schauen wir uns die also noch mal genauer an.

Genau so wie die Auftriebskraft wird die Fliehkraft von der Drehung des Blattes um die Rotorwelle erzeugt. Um die Fliehkraft auszurechnen, wird normalerweise das Blattgewicht und die Lage des Schwerpunktes zur Drehachse verwendet. Für die Berechnung der Größe der Fliehkraft ist das auch durchaus in Ordnung. Wenn man aber z.B. die Belastung des Blattes oder wie hier, den Konuswinkel berechnen will, muss man genauer hinschauen:

Auch hier habe ich für die Abschnitte, die ich für die Auftriebskraft bereits verwendet habe, die Fliehkraft berechnet.

Resultat: die Fliehkraft ist am Blatt in einer Dreiecksform verteilt. Außen wirkt sie logischerweise stärker als innen.

Damit hat die resultierende Fliehkraft eines Rotorblattes einen eindeutigen Angriffspunkt, der aber nicht der Schwerpunkt ist.

Die Resultierende einer Dreiecksverteilung greift bei 2/3 der Länge an, über die Kräfte verteilt sind.

Nachtrag 05.10.2018: Einen kleinen Versuch dazu habe ich hier mit eingefügt.

Jetzt haben wir die eigentlichen Orte gefunden, an denen die Kraftkomponenten von Auftriebs- und Fliehkraft angreifen.

Kuriose Feststellung an der Stelle:  Das Blatt wird leichter! 

wieso werde ich auf der Seite einfach(e) nötige Physik versuchen zu erklären

Damit sieht die einfache Berechnung des Konuswinkels über die Drehmomente der resultierenden Auftriebs- und Fliehkräfte so aus:

M_L = M_R

Fa_n * L_Fa_n = Fz_n * L_Fz_n

Fa_s/cos(ɑ) * L_Fa_N = Fz*sin(ɑ) * L_Fz_n

Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)  = sin(ɑ) * cos(ɑ)

mit sin(ɑ) * cos(ɑ) = 0,5 * sin(2 * ɑ)  gilt:

Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)  = 0,5 * sin(2* ɑ)

2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n))  = sin(2* ɑ)

arcsin(2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n)))  = 2* ɑ

arcsin(2 * (Fa_s * L_Fa_n / (Fz * L_Fz_n))) / 2 = ɑ

setzt man für Fz, L_Fa_n, L_Fz_n und Fa_s die Werte ein, schaut das Ganze so aus:

ɑ = arcsin(2 * 2000g * 462,5mm / (124646g * 400mm)) /2

ɑ = 1,05°

Da ich, wie oben bereits erwähnt, den richtigen Ort der resultierenden Auftriebskraft nicht genau ermitteln kann (da fehlen mir noch die mathematischen Fähigkeiten) habe ich eine andere Lösung gesucht. Da mir auch Integrieren der Funktion mit den enthaltenen Winkelfunktionen zu kompliziert war, habe ich wieder meine Excel Tabelle bemüht.

Ich habe nun für jedes einzelne Element das Moment, das aus Fliehkraft und Auftriebskraft erzeugt wird, berechnet. Die Resultierende entspricht nun genau der Summe der Einzelflächen, also der Fläche unter der Kurve.

Ich habe dann den Winkel so weit geändert, bis die Summe der Momente der einzelnen Abschnitte, also die Fläche unter den Kurven, jeweils für Fliehkraft und Auftriebskraft, gleich ist. 

Der Winkel beträgt so berechnet ziemlich genau 1°. Die Näherung über die Resultierenden, insbesondere der richtige Kraftangriffspunkt der Fliehkraft, oben war also schon sehr gut.

Nachtrag 20.01.2019:

diese Näherung werde ich auch in den weiteren Berechnungen verwenden. Damit ist es einfacher einen Versatz der Fliehkraftangriffspunkte zu rechnen.

Jetzt erst bin ich mir sicher den richtigen Konuswinkel berechnet zu haben.

Der gilt aber nur unter oben genannten Annahmen „starres Blatt“ und „Schlaggelenk“.

Und so stellt sich das Gleichgewicht am Rotor ein:

Ist der Winkel zu klein überwiegt die Auftriebskraft bzw. ihr Moment und das Blatt wird weiter hochklappen.

Ist der Winkel zu groß überwiegt die Fliehkraft bzw. ihr Moment und das Blatt senkt sich wieder.

Andere Sichtweisen:

• wird der Heli plötzlich schwerer (durch Zuladung oder Beschleunigung) wird die Auftriebskraft höher (wenn er auf gleicher Höhe bleiben soll) und die Blätter klappen weiter hoch.

• Wird die Drehzahl im Schwebeflug plötzlich höher, überwiegt die nun höhere Fliehkraft und die Blätter senken sich.

Das Ergebnis:

Bei einem 4kg schweren 600er-Heli klappen sich die 120g-Blätter bei 1600U/min im Schwebeflug gerade mal 1° hoch.

Das gilt bei frei beweglichem, aber starrem Blatt. (Bisher habe ich hier immer ca. 3° abgeschätzt.) 

Da über die Blattlänge die Kraftverteilung aber unterschiedlich ist, werden sich die Blätter in sich verformen. Außen überwiegt die Auftriebskraft, weiter innen die Fliehkraft. Dies gilt auch bei Blattlagerungen im Schlaggelenk. Aber nur, wenn sich das Profil oder der Anstellwinkel der Blätter zum Ende hin nicht ändert, die Blätter also weder aerodynamisch noch geometrisch geschränkt sind. 

Bei unseren Helis sind außerdem die Blätter stark in den Blatthaltern und am Kopf eingespannt. Wir haben meist kein Schlaggelenk mehr.

D.h. sie werden sich bei uns nicht so hoch klappen. Sie werden sich eher im Randbereich verformen, sich also in sich hochbiegen.

19.01.2019

für die weiteren Berechnungen habe ich die Lösung mit den Resultierenden der Flächenlasten verwendet.

Das habe ich weiter oben bereits berechnet und gezeigt.

Wenn die tatsächlichen Angriffspunkte (also nicht der Schwerpunkt der Blätter) verwendet werden, ist das Ergebnis vergleichbar.

Der Konuswinkelunterschied der Blätter, nur durch enthaltene Unterschiede der Schwerpunktlagen und/oder Unwuchten ist so klein, dass er kaum im Blattspurlauf auffallen wird.

Der Nachweis dazu folgt im nächsten Kapitel "Effekt 2 Höhenlagenfehler"