Spannenergie der Mausefallenfeder
ich sehe im Internet oft, dass die Spannenergie der Feder berechnet wird. Erscheint ja auf den ersten Blick auch logisch, weil ja dieser Energievorrat das Auto antreibt. Trotzdem macht die Berechnung meiner Meinung nach, keinen so rechten Sinn.
Warum, das erkläre ich später.
Für die Dokumentation ist es aber eine wichtige Berechnung, die zeigt, dass ihr die Spannenergie berechnen könnt.
Deshalb will ich die hier auch mal darstellen.
Die Spannenergie
Eine Feder ist ein Energiespeicher. Man kann ihr Energie von Außen zuführen und sie in der Feder erstmal speichern bis sie benötigt wird.
Es wird ihr von Außen eine Bewegungsenergie zugeführt und in Spannenergie umgewandelt.
Da wir von der Feder nur zwei Werte kennen, müssen wir versuchen damit die Spannenergie auszurechnen.
Diese beiden Werte sind ein Drehwinkel und eine Kraft. Oft wird die Spannenergie mit der Federhärte D berechnet, die wir leider nicht kennen. Um das zu umgehen, brauchen wir zwei Kräfte der Feder: die Vorspannkraft und die Kraft bei maximaler Auslenkung.
Die Berechnung der Spannenergie könnt ihr mit der Berechnung der potentiellen Energie vergleichen.
Dort hebt ihr ein Gewicht mit einer bestimmten Kraft auf eine höhere Lage. Die zugeführte Energie ist in dem Fall ganz einfach Kraft mal Weg.
Die Spannenergie der Feder lässt sich fast gleich berechnen.
Es ist einfach die Kraft, die ihr zum Spannen braucht mal dem Weg, den ihr dabei zurücklegt.
Jetzt gibt es bei der Mausefallenfeder blöderweise Eigenschaften, die das Ganze etwas schwieriger machen:
1. Es ist keine lineare Bewegung, sondern eine Drehbewegung.
2. Die Kraft ist nicht konstant. Sie ändert sich mit der Bewegung des Bügels.
3. Die Anfangskraft ist nicht Null
Zu Punkt 1.
Das Problem lässt sich leicht lösen: der Punkt, an dem die Kraft angreift, legt ja auf dem Bogen der Drehbewegung auch eine
bestimmte Strecke zurück. Das ist genau der Weg, den wir für die Berechnung dann brauchen.
D.h. wir suchen uns einen Punkt an dem Mausefallenbügeln, an dem wir die Kräfte messen. Dieser Punkt macht beim Spannen der Feder einen Kreisbogen um die Drehachse der Feder und legt auf diesem Bogen eine bestimmte Strecke zurück.
Der zurückgelegte Weg sF des Kraftangriffspunktes auf dem Bogen ist leicht auszurechnen.
Angenommen der Mausefallenbügel würde einen kompletten Kreis machen können.
Dann wäre doch der Weg, den der Kraftangriffspunkt zurücklegt der Umfang dieses Kreises.
Das wäre dann s = 2 * R * pi.
Da aber die Mausefalle nur etwa 180° machen kann, ist die Bogenlänge des Kraftangriffspunktes eben auch nur etwa der halbe Umfang.
sF = 2 * r * pi / 2
= r * pi
Der genaue Winkel hängt am Ende auch von eurer Konstruktion des Autos ab. Nehmen wir also erstmal an, wir hätten einfach 180°
Wenn wir die Kraft an dem Mausefallenbügel messen um die Energie auszurechnen, dann müssen wir uns auch den Abstand des
Punktes, an dem wir die Kraft messen, von der Rotationsachse merken.
Und wir müssen die Kräfte der Feder auch so messen, dass der Bügel zwischen den beiden Messpunkten 180° hat, weil wir die Berechnung entsprechend so vereinfacht haben.
Zu Punkt 2:
Hätte die Feder, ähnlich dem Gewicht, welches auf eine höhere Lage gehoben wird, immer die gleiche Kraft von Beginn der Bewegung an,
so wäre die Berechnung jetzt wieder ganz leicht. Kraft mal Weg auf dem Bogen aus Punkt 1.
Aber die Kraft ändert sich. Die Feder wird immer stärker, je weiter sie gespannt wird.
Wir nehmen aber zur Vereinfachung an, dass sich die Kraft über den Weg zumindest gleichmäßig ändert.
Wir nennen das „proportional“ . Gleiche Wegänderung bedeutet gleiche Kraftänderung.
Schauen wir uns trotzdem nochmal kurz an, wie es wäre, wenn die Kraft konstant wäre:
Die rote Linie ist die Kraft aufgetragen über den Weg, den der Kraftpunkt auf dem Bogen zurücklegt.
Sie ändert sich über den Weg nicht und bleibt konstant.
Die Spannenergie ist ja Kraft mal Weg, also genau die Fläche unter der Kurve.
Schauen wir uns jetzt an, wie es ist, wenn die Kraft proportional zum Weg zunimmt:
Wir sehen, dass die Kraft bei Null beginnt (Feder komplett entlastet) und mit einem Spannweg immer mehr Kraft aufbaut. Das soll aber, der Einfachheit halber linear angenommen werden. Deshalb ist das eine Gerade.
Auch hier ist die Energie wieder die Fläche unter der Kurve.
Weil wir den Kraftaufbau linear angenommen haben, müssen wir hier jetzt nicht irgendwelche komplizierten Gleichungen integrieren, sondern können die Fläche so ausrechnen:
Die Fläche in einem Dreieck ist Grundlinie mal Höhe geteilt durch zwei.
Grundlinie ist der Weg se, Höhe die Kraft Fe am Ende der Bewegung.
E = Fe * se / 2
Damit ist die Fläche, also die Energie nur halb so groß, als wenn die Kraft über den gesamten Weg so groß wie am Ende gewesen wäre.
Wenn also die Federkraft der Mausefalle bei Null beginnen würde und bis zu einem bestimmten Wert ansteigt,
dann könnten wir jetzt leicht die Energie berechnen, wenn wir den Weg und die Endkraft kennen.
Zu Punkt 3:
Die Anfangskraft einer Mausefalle ist aber nicht Null. Sie ist vorgespannt und erzeugt so bereits eine gewisse Kraft.
Diese muss erst überwunden werden, wenn man die Feder weiter spannen will.
Wir können daher auch nicht die volle Spannenergie der Feder nutzen, sondern nur einen Teil.
Zeichnen wir wieder ein Diagramm der Federkraft über den Weg, um uns die Energieberechnung vorstellen zu können:
Die Kennlinie beginnt diesmal nicht im Nullpunkt, weil die Feder ja bereits schon eine Kraft hat obwohl noch kein Weg zurückgelegt wurde.
Die einzigen Werte der Kennlinie, die wir ermitteln können, ist die Anfangskraft Fa, die Endkraft Fe und der Weg se
Auch hier ist die Spannenergie wieder die Fläche unter der Kurve.
Info: die Spannenergie der Feder ist natürlich wieder die gesamte Dreiecksfläche.
Hier ist nun aber nur der Bereich schraffiert, der auch genutzt, bzw. zusätzlich gespannt werden kann.
Wie berechnen wir nun diese Fläche?
Zuerst mal Schritt für Schritt: wir zerlegen sie in einfachere Formen.
A1 ist nun wieder ein Dreieck, A2 ein Rechteck, dessen Flächen wir einfach berechnen können.
Berechnen wir zuerst A1:
Das ist wieder ein Dreieck mit der Grundlinie se. Diesmal ist die Höhe aber nicht einfach die Kraft F sondern der Unterschied
zwischen der Anfangs- und Endkraft, also Fe – Fa.
Damit ist die Fläche:
A1 = (Fe – Fa) * se / 2
A2 berechnet sich so:
A2 = Fa*se
Die Gesamtfläche, und damit die Energie E, ist demnach
E = A1 + A2
= (Fe - Fa) * se / 2 + Fa * se
= Fe * se / 2 - Fa * se / 2 + Fa * se
= Fe * se / 2 + Fa * se / 2
= (Fe + Fa) / 2 * se
Wir müssen also nur die Anfangs- und Endkraft der Mausefalle wissen und können über den Weg dann berechnen
welche Spannenergie die Feder hat.
Jetzt haben wir alle nötigen Formeln zur Berechnung der Spannenergie der Feder ermittelt.
Jetzt müssen wir die Feder, deren Energie wir dann berechnen wollen, erstmal vermessen.
Messen wir zunächst die Vorspannkraft Fa
Danach die Spannkraft aufgezogen. Der Winkel den der Bügel zwischen den beiden Messtellen macht, sollte 180° betragen.
Mal abgesehen davon, dass es gar nicht so einfach ist, die Kräfte sauber zu messen,
nehmen wir mal an, wir hätten folgende Werte ermittelt:
Fa = 200cN
Fe = 600cN
R = 40mm
Drehwinkel 180°, also eine halbe Umdrehung.
Die Energie der Feder wäre dann:
E = (Fe + Fa)/2 * s =
= (600cN + 200cN) / 2 * 40mm*pi
= 800cN / 2 * 40mm*3,14
= 400cN * 40mm*3,14
= 50264cNmm
Jetzt müssen wir noch in andere Einheiten umrechnen. Die Energie wird in Joule angegeben, das Newton mal Meter sein muss.
Also cN in N und mm in m umrechnen.
Daraus folgt dann:
E = 50264cNmm
= 50264cNmm * 1N/100cN * 1m /1000mm
= 50264/100000 = 0,5Nm = 0,5J
Jetzt haben wir die nutzbare Spannenergie der Feder berechnet.
Und was machen wir jetzt damit? Was hilft uns jetzt dieses Ergebnis?
Können wir damit berechnen, wie weit unser Auto fahren kann?
Die Antwort: im Prinzip ja, allerdings müssen wir dazu wissen, mit welcher Kraft es fahren kann,
bzw. welche Kraft es benötigt um fahren zu können.
Das wiederum hängt davon ab, auf welchem Boden es fahren soll, welche Steigungen es überwinden muss, welche Reibungen
ins Auto eingebaut wurden, wie schwer es ist usw.
Es wird eine bestimmte kinetische Energie haben, der Rest wird dann zusätzlich in Reibungswärme umgesetzt.
Am Ende der Fahrt wird die gesamte Spannenergie der Feder in Reibungswärme umgesetzt sein. Es hat ja normalerweise keine oder nur sehr wenig Höhenenergie gewonnen und kinetische oder eine andere Energie hat es auch nicht.
So richtig können wir also mit der Energie gar nichts anfangen.
Deshalb habe ich auch die Spannenergien meiner Federn nie berechnet. Das ist für mich auch völlig unnötig.
Ich habe mich darauf beschränkt die Reichweite eines Autos zu berechnen und dann auszuprobieren, ob die Kraft dafür ausreicht,
es auf dem gewählten Boden zum Fahren zu bringen.
Nachtrag 2.10.2021
aus der Kraft-Weg-Kurve oben kann man aber ablesen, dass der Energieinhalt der Mausefallenfeder nicht gleich verteilt ist.
Schauen wir uns die Energie, also die Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve nochmal an.
Für gleiche Wegabschnitte des Fallenbügels, haben wir in voll gespanntem Zustand eine größere Fläche unter der Kurve (linkes Bild) als wenn die Feder nur etwas gespannt ist.
Das erscheint logisch. Schließlich hat die Feder wenn sie voll gespannt ist auch eine deutlich größere Kraft.
Trotzdem sehe ich immer wieder Konstruktionen, bei denen der Stab, oder allgemein die Konstruktion, es nicht zulässt dass die Mausefalle bis zum Ende aufgezogen wird.
Dadurch wird natürlich wertvolle Energie der Falle nicht genutzt. Konstruiert euer Auto immer so, dass die Mausefalle wirklich bis zum Ende gespannt werden kann!