Effekt 2  Höhenlagenfehler

erst nach der Berechnung des korrekten Konuswinkels kann eine Abschätzung über den Effekt 2 getroffen werden.

Annahme:

Die Schwerpunkte liegen bei den beiden Blättern um 1mm unterschiedlich, was ohne großen Aufwand beim Auswuchten bereits erreicht werden kann. Nehmen wir weiterhin an, dass dann auch die Kraftangriffspunkte der Fliehkraft 1mm unterschiedlich weit von der Rotorachse entfernt liegen. 

(diese Annahmen dürfen wir so treffen, weil wir nicht die Masse des Blattes betrachten, sondern die Fliehkraft. Und die ist, bei ideal für Kopfabstand gewuchteten Blättern, eben auch gleich, obwohl die Schwerpunktlage 1mm unterschiedlich ist.)

Die Blätter werden beide durch die Auftriebskraft gleich hochgebogen.

Damit heben sich die Fliehkraftangriffspunkte um ca. 0,02mm unterschiedlich hoch ( = sin(1,04°) * 1mm) 

Wenn die Blätter vorher richtig gut gewuchtet waren, rechnerisch also keine Unwucht gewirkt hat, dann entsteht nur dadurch ein Moment, weil die Fliehkräfte jetzt auf unterschiedlichen Höhen an der Rotorachse angreifen. Dieses Moment dreht sich mit der Rotorachse und wirkt daher wie eine echte dynamische Unwucht (Momentenunwucht). Kommt daher der Begriff „Rotorblätter dynamisch wuchten“?

Im o.g. Beispiel des 600ers entsteht ein Moment im Schwebeflug von 2284 g*mm.

Diesen Wert kann man sich jetzt nur schwer vorstellen. Ich habe deshalb den Wert in eine Unwuchtskraft umgerechnet, die am Rotor wirken müsste, um die gleiche Unwucht zu erzeugen.

Dazu muss man den Abstand des Helischwerpunktes vom Rotorkopf kennen. 

Annahme: Abstand 100mm

Wir suchen nun also die Kraft, die die gleiche Unwucht erzeugen würde, wie das die Momentenunwucht macht.

D.h. die beiden Momente, die auf den Heli wirken, sind gleich. Eines kennen wir: die Momentenunwucht M1 = 2284 g*mm

Vom anderen kennen wir nur den Hebelarm: 100mm.

Damit können wir die gesuchte "Kraft" berechnen:

M1 = M2

2284 g * mm = L * F

F = 2284 g *mm / 100mm

F = 22,8g

Das entspricht dann einer "Unwuchtskraft" von gerade mal 23g. Diese würde oben am Rotorkopf während der Drehung radial nach außen wirken, also eine Unwucht erzeugen. Liegt der Helischwerpunkt weiter vom Rotorkopf weg, nimmt die Kraft sogar noch ab.

Wird dieser Heli z.B. mit 5G belastet, wirken auch hier 5 mal so große Kräfte (weil die Blätter 5 x so weit hochklappen), also gut 114g Unwuchtskraft.

Der Effekt 2 ist also nicht so groß, dass man das als kritisch betrachten müsste, kann aber durch Anpassen der Schwerpunktlagen verbessert werden. 

Zur Erinnerung:

Das gilt alles unter der Annahme, dass sich die Blätter gleich hoch heben, also der Konuswinkel exakt gleich ist.

Hier noch ein paar Skizzen, die zeigen sollen, wie die Unwucht durch unterschiedliche Höhen der Fliehkräfte entsteht:

Das Interessante dabei ist, dass dieser Wert unabhängig von der Drehzahl, Kopfdurchmesser und Blattgewicht ist!

Es entsteht keine größere Unwucht, nur weil der Rotor mit höherer Drehzahl läuft oder schwerere Blätter verwendet werden.

Umgekehrt kann eine Vibration die dadurch entsteht, auch nicht durch eine reduzierte Drehzahl verbessert werden. 

(natürlich abgesehen von Resonanz und Trägheit des Helis)

19.01.2019

Bisher habe ich für beide Blätter in den Berechnungen immer den selben Konuswinkel angenommen und dann bei einem Blatt zur Unwuchtsberechnung den Schwerpunkt verschoben oder das Gewicht erhöht!

Weiterhin habe ich immer nur in Excel die nächsten interessanten Punkte aus den bereits berechneten ermittelt. Damit habe ich den Blick auf das Ganze zunächst verloren.

Leider bin ich sehr spät drauf gekommen, dass der Konuswinkel natürlich für jedes Blatt unterschiedlich sein muss, wenn die Fliehkräfte an unterschiedlichen Stellen angreifen. 

Die Tatsache, dass bei meinem Berechnungen immer eine sehr kleine Unwuchtskraft herauskommt und die noch nahezu von allem unabhängig ist, hat mich dazu bewogen, das Ganze nochmal allgemein mathematisch zu betrachten.

Ich möchte diese Unabhängigkeiten nachweisen.

Wie so oft, brauchen wir für die Berechnung ein paar Rahmenbedingungen oder Annahmen, unter denen die Rechnung durchgeführt werden kann. Ein paar Variablen müssen einfach festgezurrt werden:

• Wir betrachten wieder einen Zweiblattkopf
• Auftriebskraft verteilt sich gleich auf beide Blätter
• Angriffspunkt der Auftriebskraft ist bei beiden Blättern gleich
• Blätter verhalten sich beide gleich (mechanisch und aerodynamisch)
• Eingespannte Blätter biegen sich bei kleinen Winkeln wie in Schlaggelenken
• wir betrachten nur kleine Konuswinkel (< ca. 5°)
• Fliehkraftangriffspunkt und Schwerpunkt der Blätter verschieben sich direkt abhängig voneinander.
• Berechnung vereinfacht durch Verwendung der Resultierenden, statt der Flächenlasten

Ich möchte die Momentänderung dM am Rotorkopf, also die echte Unwucht, durch den Effekt 2 betrachten.

Frage: Wie ändert sich das Unwuchtsmoment am Rotorkopf, wenn sich die Blätter von Neutralpitch auf Schwebepitch hochbiegen?

Ich betrachte hier gleich das Moment zum Helischwerpunkt, weil bei unterschiedlich hoch laufenden Angriffspunkten der Fliehkraft sich eben ein solches Moment am Heli einstellt. Aus diesem Moment habe ich dann bisher die resultierende Unwuchtskraft auf Rotorebene berechnet. 

Ich habe auch die Flächenlast der Auftriebs- und Fliehkräfte durch die resultierenden Kräfte ersetzt. Das Ergebnis des Konuswinkels ist vergleichbar. Da für beide Blätter dieselbe Berechnungsmethode angewendet wird, ist der Fehler gering.

Ganz wichtig: diese vereinfachten Rechnungen gelten nur für kleine Konuswinkel kleiner ca. 5°. Bei größeren Winkeln müssen weitere Winkelfunktionen in die Rechnung mit eingebracht werden. Das dann in einer allgemeinen Formel berechnen zu können, habe ich lange versucht. Leider komme ich da aber mit meinen Mathematikkenntnissen an meine Grenzen. 

In meiner Excel Berechnung sind die richtigen Formeln aber hinterlegt, so dass die Berechnung auch für große Konuswinkel durchgeführt werden kann. Hier ist dann trotzdem ein sehr kleiner Effekt 2 zu beobachten.

Da wir bei unseren Helis aber meistens große Drehzahlen fliegen und demnach sehr kleine Konuswinkel haben, habe ich diese die Rechnung so vereinfachen können.

Eine Vereinfachung ist, dass sich die Kräfte beim Anheben der Blätter nicht verändern.

Die Fliehkraft z.B. würde sich am realen Heli ganz leicht verändern, wenn sich das Blatt hebt. Hier ändert sich dann der Radius zur Drehachse, in dem die Fliehkraft angreift. Das würde mit dem Kosinus berechnet werden, der aber für kleine Winkel 1 ist. Folglich können wir für kleine Winkel annehmen, dass sich die Kraft nicht ändert. Solche Annahmen vereinfachen die Berechnung enorm.

Wir setzen also in die Berechnung nur die Fliehkraft ein, und unterscheiden nicht zwischen Fliehkraft bei Pitch und bei Neutral.

Ähnliche Annahmen können für die Auftriebskraft getroffen werden. 

Die Rechnungen werden mit der Zeit noch mit ein paar Skizzen erklärt. 

Ich möchte nun wissen, ob sich das Moment ändert, wenn sich die  Blätter beim Pitch-geben anheben.

Dazu berechne ich den Unterschied der Rest-Momente bei Neutrallage und bei Pitch: 

dM

=            Mn       –                   Mp

=     Mln - Mrn      –            Mlp - Mrp

= (Fzl*h – Fzr*h) – ( Fzl*(h+dhl) – Fzr*(h+dhr) )

= Fzl*h – Fzr*h – (Fzl*h + Fzl*dhl – Fzr*h – Fzr*dhr)

= Fzl*h – Fzr*h – Fzl*h - Fzl*dhl + Fzr*h + Fzr*dhr

= Fzr*dhr – Fzl*dhl

mit dhl = lzl * sin(al) und  dhr = lzr * sin(ar) gilt:

= Fzr*sin(ar)*lzr - Fzl*sin(al)*lzl

 Jetzt müssen wir sin(a) für jedes Blatt berechnen, also sin(al) für das linke und sin(ar) für das rechte Blatt:

Setzen wir den gerade berechneten Sinus nun in die Rechnung von oben ein.

mit sin(ar) = Fa*la/(Fzr*lzr) und sin(al) = Fa*la/(Fzl*lzl) gilt also:

= Fzr*Fa*la/(Fzr*lzr)*lzr – Fzl*Fa*la/(Fzl*lzl)*lzl

= Fzr*Fa*la/Fzr  –  Fzl*Fa*la/Fzl

= Fa*la – Fa*la

= 0

Wir sehen, dass der Unterschied der Momente am Rotorkopf (zur Erinnerung Unwuchtsmoment bei Neutrallage und bei Pitch) zum Helischwerpunkt Null ist. Das Moment, also die Unwucht, die in Neutrallage bereits vorhanden war, ändert sich nicht mehr durch das Heben der Blätter bei Pitch.

die verwendeten Abkürzungen:

dM = Momentänderung = Unwuchtsänderung

Mn = Moment in Neutralpitch

Mp = Moment bei Schwebepitch

Ml = Moment linksdrehend

Mr = Moment rechtsdrehend

Mlp = Moment linksdrehend bei Schwebepitch

Mrp = Moment rechtsdrehend bei Schwebepitch

Mbl = Moment am Blatt linksdrehend

Mbr = Moment am Blatt rechtsdrehend

Fa = Auftriebskraft

Fz = Fliehkraft

Fzl = Fliehkraft links

Fzr = Fliehkraft rechts

h = Abstand Rotor vom Heli-Schwerpunkt

dhl = Höhenänderung Angriffspunkt Fz linkes Blatt

dhr = Höhenänderung Angriffspunkt Fz rechtes Blatt

lzl = Abstand Angriffspunkt Fliehkraft links

lzr = Abstand Angriffspunkt Fliehkraft rechts

la = Abstand Angriffspunkt Auftriebskraft

a = Konuswinkel

al= Konuswinkel links

ar =Konuswinkel rechts

Ergebnis:

D.h. durch den Effekt 2 kommt kein neues Moment hinzu! Anders ausgedrückt: es gibt keine Veränderungen der bei Neutralpitch bereits enthaltenen Unwuchten durch das Heben der Blätter bei Pitch.

Effekt 2 ist demnach (fast) gar nicht vorhanden.

Das gilt zumindest für kleine Konuswinkel.

Erst wenn der Konuswinkel größer wird (z.B. bei vollem Pitch) und sich dadurch die Blätter mehr hochbiegen, kommt eine kleine Unwucht hinzu: Würde man es schaffen einen 5kg 800er-Heli mit nur 1000U/min bei vollem Pitch auf 10 fache Erdbeschleunigung zu bringen, und hätte man auf der Einblattwaage mit Kopfabstand ausgewuchtete 200g schwere Blätter, die eine 10mm (!) unterschiedliche Schwerpunktlage haben, dann käme eine Unwuchtskraft von "80g" dazu (Konuswinkel >10°). Ein abstruses Beispiel, zugegeben.

Es soll nur die Größenordnungen verdeutlichen. Bei 2000U/min sind es schon nur noch 4g (Konuswinkel 3°), also völlig irrelevant. Wenn dann der Unterschied in der Schwerpunktlage noch realistischer bei max. 3mm liegt, können wir den Effekt 2 wieder komplett vergessen.

Immer unter der dieser Vereinfachung "kleine Winkel" betrachtet:

Der Angriffspunkt der Fliehkraft und die Fliehkraft selbst ist für den Effekt 2 nicht relevant, genau so wie die Drehzahl.

Damit ist auch nicht relevant, ob die Fliehkraft an einem Blatt weiter außen angreift oder nicht. 

Wenn bereits eine Unwucht vorhanden ist, so wird die durch Anheben der Blätter im Flug nicht verändert.

Daraus folgt, dass die Gesamtunwucht eines Mehrblattkopfes ebenso nicht geändert wird. 

Die Lage des Blattschwerpunktes und damit die Lage des Fliehkraftangriffspunktes ist völlig egal.

Die Drehzahl und die daraus entstehende Fliehkraft ist ebenso egal. 

Immer unter oben genannten Voraussetzungen!

Das Ergebnis führt zu weiteren Erkenntnissen:

Wenn die Fliehkraft links und rechts gleich ist (also keine Unwucht bei Neutralpitch vorhanden ist), dann muss die Höhenänderung ihres Angriffspunktes links und rechts ebenfalls gleich sein! Und das ist unabhängig von der Lage des Blattschwerpunktes oder des Blattgewichtes.

Das möchte ich natürlich ebenfalls nachweisen:

Höhenänderung linkes Blatt:

dhl = sin(al)*lzl

= Fa*la/(Fzl*lzl)*lzl

= Fa*la/Fzl

Mit Fzl = Fzr = Fz gilt:

= Fa*la/Fz

Höhenänderung rechtes Blatt:

dhr=sin(ar)*lzr

= Fa*la/(Fzr*lzr)*lzlr

= Fa*la/Fzr

Mit Fzl = Fzr = Fz gilt:

= Fa*la/Fz

= dhl

= Höhenänderung linkes Blatt 

d.h. wenn die Fliehkräfte links und rechts gleich sind, dann heben sich die Blätter jeweils so hoch, 

dass die Angriffspunkte der Fliehkräfte auf gleicher Höhe laufen. Der Konuswinkel stellt sich genau so ein.

Daraus folgt, dass es keinen Effekt 2 gibt und auch keine zusätzliche Unwucht dadurch hinzu kommt.

Die Aussage, dass bei unterschiedlicher Lage des Schwerpunktes der Blätter eine zusätzliche Unwucht dazu kommt, weil sich die Schwerpunkte im Flug auf unterschiedliches Niveau heben, ist also hiermit widerlegt.

Die Konuswinkel der Blätter sind aber unterschiedlich! Allerdings ist das immer noch im 1/100° Bereich, wenn die Blattschwerpunkte 10mm auseinander liegen. Wir werden also unterschiedliche Blattschwerpunkte nicht in unterschiedlichem Blattspurlauf bei Pitch sehen.

Selbst bei großen Unwuchten der Blätter ist der Unterschied im Konuswinkel im mehrere 1/100° Bereich.

Sehr wahrscheinlich machen wir beim Einstellen des Blattspurlaufes sehr viel größere Fehler.

konkretes Beispiel zum Unterschied im Konuswinkel:

- 800er Blätter mit ca. 220g

- Schwerpunktlagen der Blätter:

   Blatt 1  440mm

   Blatt 2  450mm    >> 10mm Unterschied!

- 5kg-Heli mit nur 1000U/min im Schwebeflug   >> großer Konuswinkel!

- Blätter perfekt auf den Abstand am Rotorkopf abgestimmt   >> keine Unwucht in Neutrallage 

Ergebnis:

der Unterschied im Konuswinkel beträgt gerade mal 0,023°. Das sind am Blattende 0,32mm.

Ich glaube nicht, dass man die im Flug als unsauberen Blattspurlauf erkennen kann.

Die Situation am Rotorkopf schaut bei Pitch dann, übertrieben dargestellt, so aus:

Jetzt könnte jemand sagen:

"na dann laufen aber jetzt die Angriffspunkte der Fliehkraft unterschiedlich hoch, was wieder zu Unwuchten führt"

Stimmt, die laufen unterschiedlich hoch, aber hier wirkt eben der Kosinus des Konuswinkels. Die unterschiedlichen Momente, die die unterschiedlich hoch laufenden Auftriebskräfte erzeugen, werden mit dem Kosinus berechnet, der eben für kleine Konuswinkel vernachlässigbar (weil fast = 1)  ist. Das war ja eine der Annahmen um die Rechnungen zu vereinfachen und das ist auch der Grund, weshalb, wenn man es genau rechnet, immer noch ein sehr kleiner Effekt 2 feststellbar ist. 

In der Realität meiner Meinung nach zu vernachlässigen.

mein persönliches Fazit daraus:

Damit mache ich mir nun ab sofort überhaupt keinen Aufwand mehr Blattschwerpunkte der Blätter anzugleichen!

Mit der allgemeinen Betrachtung oben habe ich auch meine Excel-Berechnungen überprüfen können und so einen kleinen Zellenbezugsfehler gefunden, der zu kleinen Werten für den Effekt 2 geführt hatte. Die Excel-Tabelle zeigt jetzt genau dieselben Erkenntnisse und ich bin nun sicher alles richtig gerechnet zu haben.

Jetzt würde nur noch die Betrachtung der realen Blätter fehlen, die sich bei unseren Helis ja biegen und eingespannt sind.

Diese Berechnung ist mir derzeit aber noch zu kompliziert.

Die Fliehkraftangriffspunkte können unter realen Bedingungen, also dass sich die Blätter eben nicht 100% gleich verhalten, trotzdem unterschiedlich hoch heben. Dadurch entsteht dann doch noch eine zusätzliche Unwucht.

Das ist dann aber auch bei ideal angepassten Blattschwerpunkten der Fall und lässt sich durch Auswuchten nicht verhindern.

Die Situation am Rotorkopf schaut bei Pitch dann so aus:

Nachtrag 03.02.2019

ich habe versucht herauszufinden, ob sich der Angriffspunkt der Fliehkraft mit dem Schwerpunkt verschiebt.

Wenn also die Schwerpunkte 10mm auseinander liegen, liegt dann auch der Angriffspunkt der Fliehkraft 10mm auseinander?

Die Frage kann eindeutig mit "kann man nicht genau sagen" beantwortet werden.

Es hängt davon ab, wo die Blätter unterschiedlich schwer sind. Im Groben passt das Verhältnis ganz gut. Es kann aber auch schlechter sein oder deutlich besser.

In dem Zug der Berechnung habe ich aber etwas detaillierter gerechnet. Ich habe die Blattwurzel und die Profilfläche getrennt betrachtet und die Flächenlasten der Fliehkräfte genauer einbezogen.

Weiterhin habe ich nun alle Sinuse und Cosiunse der Kräfte einbezogen, die beim Anheben der Blätter die Kräfte verändern.

Das Ergebnis ist nun noch besser als bisher berechnet.

Es tritt kaum mehr eine Unwucht auf, wenn sich die Blätter heben. Die detaillierte Berechnung nähern sich immer mehr der vereinfachten Rechnung von oben. Selbst wenn der Konuswinkel jetzt über 10° beträgt, werden im Extremfall (5kg Heli beschleunigt mit 10 facher Erdbeschleunigung bei nur 1000U/min, also physikalisch unmöglich) nur noch ca. 23cN  "Unwuchtskraft" erzeugt.

Es bestätigt sich also wieder, dass der Effekt 2 bei unseren Helis zu vernachlässigen ist.

Nachtrag 15.03.2019:

durch eine vereinfachte Rechnung kann bestätigt werden, dass Schwerpunktlage und Angriffspunkt der Fliehkraft nicht zusammenhängen. Siehe dazu Seite Vergleich Fliehkraft und Schwerpunkt

Nachtrag 12.04.2020:

ich hab ganz vergessen, den Test, den ich hierzu gemacht habe hier zu verlinken.

Das möchte ich nun noch nachholen. 

Hier also noch der gemessene Beweis meiner Berechnungen hier.